2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第八章8.3 圆的方程
考纲要求
掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．
知识梳理
1．圆的定义
在平面内，到____的距离等于____的点的____叫做圆．
确定一个圆最基本的要素是____和____．
2．圆的标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中______为圆心，____为半径长．
特别地，当圆心在原点时，圆的方程为________．
3．圆的一般方程
对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
(1)当____________时，表示圆心为－D2，－E2，半径长为12D2＋E2－4F的圆；
(2)当____________时，表示一个点－D2，－E2；
(3)当____________时，它不表示任何图形；
(4)二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是① ，② ，③ .
4．点与圆的位置关系
点和圆的位置关系有三种．
圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，点M(x0，y0)，
(1)点在圆上：____________________；
(2)点在圆外：____________________；
(3)点在圆内：____________________.
基础自测
1．方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是( )．
A．14＜m＜1 B．m＞1
C．m＜14 D．m＜14或m＞1
2．圆心在y轴上，半径长为1，且过点(1,2)的圆的方程是( )．
A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1
3．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是( )．
A．－1＜a＜1 B．0＜a＜1
C．a＞1或a＜－1 D．a＝±1
4．圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝__________.
思维拓展
1．二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0是否都表示一个圆？
提示：对于该二元二次方程，只有当D2＋E2－4F＞0时，才表示一个圆；
当D2＋E2－4F＝0时，表示点－D2，－E2；当D2＋E2－4F＜0时，不表示任何图形．
2．求圆的方程时，应注意什么？
提示：圆的方程由圆心坐标和半径确定．求圆的方程可从确定这两个条件入手，也可先用待定系数法设出其方程，再确定其中的参数． 一般地，若利用半径列方程，通常设为标准形式；否则，设成一般式．无论选用哪种形式，最多需要三个独立的条件．
一、求圆的方程
【例1－1】求经过点A(5,2)，B(3，－2)，且圆心在直线2x－y－3＝0上的圆的方程．
【例1－2】已知A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，D(－1,2)，问这四点能否在同一个圆上？为什么？
方法提炼常见的求圆的方程的方法有两种：一是利用圆的几何特征，求出圆心坐标和半径长，写出圆的标准方程；二是利用待定系数法，它的应用关键是根据已知条件选择标准方程还是一般方程．如果给定的条件易求圆心坐标和半径长，则选用标准方程求解；如果所给条件与圆心、半径关系不密切或涉及圆上多点，常选用一般方程求解．
请做[针对训练]3
二、与圆有关的最值问题
【例2】已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
(1)求yx的最大值和最小值；
(2)求y－x的最大值和最小值；
(3)求x2＋y2的最大值和最小值．
方法提炼处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．与圆有关的 最值问题，常见的有以下几种类型：
①形如μ＝y－bx－a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；
②形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；
③形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
请做[针对训练]5
三、与圆有关的轨迹问题
【例3】如下图所示，圆O1和圆O2的半径长都等于1，|O1O2| ＝4.过动点P分别作圆O1，圆O2的切线PM，PN(M，N为切点)，使得|PM|＝2|PN|.试建立平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程．
方法提炼1．解答与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；定义法，根据圆、直线等定义列方程；几何法，利用圆的几何性质列方程；代入法，找到所求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．此外还有交轨法、参数法等．不论哪种方法，充分利用圆的几何性质，找出动点与定点之间的关系是解题关键．
2．求与圆的轨迹 问题时，题目的设问有两种常见形式，作答也应有不同：若求轨迹方程，把方程求出化简即可；若求轨迹，则必须根据轨迹方程，指出轨迹是什么样的曲线．
请做[针对训练]4
考情分析
通过分析近几年的高考试题可以看出，对于本节内容的考查主要侧重以下两点：(1)利用配方法把圆的一般式方程转化成标准式方程，并能指出圆心坐标及半径长；(2)求圆的 方程，方法主要有配方法、待定系数法、 数形结合法等．考查的形式以选择题、填空题为主．
针对训练
1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( )．
A．(2,3) B．(－2,3) C．(－2，－3) D．(2，－3)
2．(2011安徽高考，文4)若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为( )．
A．－1 B．1 C．3 D．－3
3．求半径为10，圆心在直线y＝2x上，被直线x－y＝0截得的弦长为42的圆的方程．
4．已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的中点M的轨迹．
5．如果实数x，y满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6，求x＋y的最大值与最小值．
参考答案
基础梳理自测
知识梳理
1．定点 定长 集合 圆心 半径
2．(a，b) r x2＋y2＝r2
3．(1)D2＋E2－4F＞0 (2)D2＋E2－4F＝0 (3)D2＋E2－4F＜0 (4)①A＝C≠0 ②B＝0 ③D2＋E2－4AF＞0
4．(1)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
(2)(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2
(3)(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2
基础自测
1． D 解析：方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是(4m)2＋(－2)2－4×5m＞0，即m＜14或m＞1.
2．A 解析：设圆心为(0，a)，则(1－0)2＋(2－a)2＝1，
∴a＝2.故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.
3．A 解析：∵点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，
∴(1－a)2＋(1＋a)2＜4，即－ 1＜a＜1.
4．3 解析：圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝1，
∴其圆心为(1,2)．
∴圆心C到直线的距离为|3×1＋4×2＋4|32＋42＝3.
考点探究突破
【例1－1】解：方法一：∵圆过A(5,2)，B(3，－2)两点，
∴圆心一定在线段AB的垂直平分线上．
线段AB的垂直平分线的方程为y＝－12(x－4)．
设所求圆的圆心坐标为C(a，b)，则有
2a－b－3＝0，b＝－12(a－4).解得a＝2，b＝1.
∴C(2,1)，r＝|CA|＝(5－2)2＋(2－1)2＝10.
∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.
方法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则2a－b－3＝0，(5－a)2＋(2－b)2＝r2，(3－a)2＋(－2－b)2＝r2.
解得a＝2，b＝1，r＝10.
∴圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.
方法三：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，
则25＋4＋5D＋2E＋F＝0，9＋4＋3D－2E＋F＝0，2×－D2＋E2－3＝0.
解得D＝－4，E＝－2，F＝－5.
∴所求圆的标准方程为x2＋y2－4x－2y－5＝0.
【例1－2】解：设经过A，B，C三点的圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.则a2＋(1－b)2＝r2，(2－a)2＋(1－b)2＝r2，(3－a)2＋(4－b)2＝r2，解此方程组，得a＝1，b＝3，r2＝5.
所以，经过A，B，C三点的圆的标准方程是(x－1)2＋(y－3)2＝5.
把点D的坐标(－1,2)代入上面方程的左边，得(－1－1)2＋(2－3)2＝5.所以，点D在经过A，B，C三点的圆上，故A，B，C，D四点在同一个圆上，圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝5.
【例2】解：(1)原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径长的圆.yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率 ，所以设yx＝k，即y＝kx.
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时|2k－0|k2＋1＝3，解得k＝±3.
所以yx的最大值为3，最小值为－3.
(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时|2－0＋b|2＝3，解得b＝－2±6.
所以y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－6.
(3) x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线和圆的两个交点处取得最大值和最小值．
又圆心到原点的距离为(2－0)2＋(0－0)2＝2，
所以x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x2＋y2的最小值是(2－3)2＝7－43.
【例3】解：以O1O2的中点O为原点，O1O2所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则O1(－2,0)，O 2(2,0)．
由已知|PM|＝2|PN|，得|PM|2＝2|PN|2.
因为两圆的半径长均为1，
所以|PO1|2－1＝2(|PO2|2－1)．
设P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，
化 简，得(x－6)2＋y2＝33，所以所求轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33.
演练巩固提升
针对训练
1．D 解析：∵x2＋y2－4x＋6y＝0可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，
∴圆心坐标为(2，－3)．
2．B 解析：圆x2＋y2＋2x－4y＝0化为标准方程：(x＋1)2＋(y－2)2＝5，可得圆心(－1,2)．
∵直线过圆心，∴将(－1,2)代入直线3x＋y＋a＝0，可得a＝1.
3．解：设圆心C(a,2a)，
圆心到直线x－y＝0的距离为d，
则d＝|a－2a|2＝22|a|.
∵r＝10，
由垂径定理知r2－d2＝22，即10－12a2＝8，∴a2＝4.∴a＝±2.
故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10，或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10.
4．解：设M(x，y)，A(x0，y0 )，
则有x＝x0＋42，y＝y0＋32.
∴x0＝2x－4，y0＝2y－3.
又A(x0，y0)在圆(x＋1)2＋y2＝4上，
∴(x0＋1)2＋ ＝4.
∴(2x－4＋1)2＋(2y－3)2＝4，即x－322＋y－322＝1.
故AB的中点M的轨迹是以32，32为圆心，以1为半径长的圆．
5．解：设x＋y＝b，则y＝－x＋b，由图知，当直线与圆C相切时，截距b取最值．而圆心C到直线y＝－x＋b的距离为d＝|6－b|2.
因为当|6－b|2＝6，即b＝6±23时，直线y＝－x＋b与圆C相切，所以x＋y的最大值与最小值分别为6＋23与6－23.