北京市东城区2011-2012学年度第二学期高三综合练习（一）
数学（理科）
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、本大题共8小题，每小题5分，共 40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）若 ， ， 是虚数单位，且 ，则 的值为
（A） （B） （C） （D）
（2）若集合 ， ，则“ ”是“ ”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（3）若实数 ， 满足不等式组 则 的最小值为
（A） （B） （C） （D）
（4）右图给出的是计算 的一个程序框图，
其中判断框内应填入的条件是
（A） （B） （C） （D）
（5）某小区有排成一排的 个车位，现有 辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的 个车位连在一起， 那么不同的停放方法的种数为
（A）16（B）18（C）24（D）32
（6）已知 ， ， ，若 ， ， ， ， 成等比数列，则 的值为 C
（A） （B） （C） （D）
（7）在直角梯形 中，已知 ∥ ， ， ， ， ，若 为 的
中点，则 的值为
（A） （B） （C） （D）
（8）已知函数 若方程 有且只有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）命题“ ”的否定是 .
（10）在极坐标系中，圆 的圆心到直线 的距离为 ．
（11）在如图所示的茎叶图中，乙组数据的中位数是 ；
若从甲、乙两组数据中分别去掉一个最大数和一个最小数
后，两组数据的平均数中较大的一组是 组．
（12）如图， 是⊙ 的直径，直线 切⊙ 于点 ，且与 延长线交于点 ，若 ， ，则 = ．
（13）抛物线 的准线方程为 ；经过此抛物线的焦点是和点 ，且
与准线相切的圆共有 个．
（14）如图，在边长为 的正方形 中，点 在 上，正方形 以 为轴逆时针旋转 角 到 的位置 ，同时点 沿着 从点 运动到点 ， ，点 在 上，在运动过程中点 始终满足 ，记点 在面 上的射影为 ，则在运动过程中向量 与 夹角 的正切的最大值为 .
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题共13分）
已知函数 .
（Ⅰ）求 的最小正周期；
（Ⅱ）若函数 的图 象是由 的图象向右平移 个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，当 [ , ]时，求 的最大值和最小值.
（16）（本小题共13分）
某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为 ，二等品率为 ；乙产品的一等品率为 ，二等品率为 .生产 件甲产品，若是一等品，则获利 万元，若是二等品，则亏损 万元；生产 件乙产品，若是一等品，则获利 万元，若是二等品，则亏损 万元.两种产品生产的质量相互独立.
（Ⅰ）设生产 件甲产品和 件乙产品可获得的总利润为 （单位：万元），求 的分布列；
（Ⅱ）求生产 件甲产品所获得的利润不少于 万元的概率.
（17）（本小题共13分）
如图1，在边长为 的正三角形 中， ， ， 分别为 ， ， 上的点，且满足 .将△ 沿 折起到△ 的位置，使二面角 成直二面角，连结 ， .（如图2）
（Ⅰ）求证： ⊥平面 ；
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的大小.
图1 图2
(18)（本小题共14分）
已知函数 在 处的切线斜率为零．
（Ⅰ）求 和 的值；
（Ⅱ）求证：在定义域内 恒成立；
(Ⅲ) 若函数 有最小值 ，且 ，求实数 的取值范围.
（19）（本小题共13分）
已知椭圆 ： 的离心率是 ，其左、右顶点分别为 ， ， 为短轴的端点，△ 的面积为 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程 ；
（Ⅱ） 为椭圆 的右焦点，若点 是椭圆 上异于 ， 的任意一点，直线 ， 与直线 分别交于 ， 两点，证明：以 为直径的圆与直线 相切于点 ．
（20）（本小题共14分）
若对于正整数 , 表示 的最大奇数因数，例如 ， .设 ．
（Ⅰ）求 , 的值；
（Ⅱ）求 ， ， 的值；
（Ⅲ）求数列 的通项公式．
北京市东城区2011-2012学年度第二学期高三综合练习（一）
数学参考答案及评分标准（理 科）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
（1）D （2）A （3）A （4）B
（5）C （6）C （7）D （8）A
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
（9） （10） （11）84 乙
（12） （13） （14）
注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
（15）（共13分）
解：（Ⅰ）因为
, …………6分
所以函数 的最小正周期为 . …………8分
（Ⅱ）依题意, [ ]
. …………10分
因为 ，所以 . …………11分
当 ，即 时， 取最大值 ；
当 ，即 时， 取最小值 . …………13分
（16）（共13分）
解：（Ⅰ）由题设知， 的可能取值为 ， ， ， . …………2分
， ，
， . ………… 6分
由此得 的分布列为：
…………8分
（Ⅱ）设生产的 件甲产品中一等品有 件，则二等品有 件.
由题设知 ，解得 ，
又 ，得 ，或 . …………10分
所求概率为 .（或写成 ）
答：生产 件甲产品所获得的利润不少于 万元的概率为 . …………13分
（17）（共13分）
（Ⅰ）证明：取 中点 ，连结 .
因为 ， ，
所以 ，而 ，即△ 是正三角形.
又因为 , 所以 . …………2分
所以在图2中有 ， .…………3分
所以 为二面角 的平面角. 图1
又二面角 为直二面角，
所以 . …………5分
又因为 ,
所以 ⊥平面 ,即 ⊥平面 . …………6分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知 ⊥平面 ， ，如图，以 为原点，建立空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， .
在图１中，连结 .
因为 ，
所以 ∥ ，且 .
所以四边形 为平行四边形.
所以 ∥ ，且 .
故点 的坐标为（1， ，0）. 图2
所以 ， ， . …………8分
不妨设平面 的法向量 ，则
即 令 ，得 . …………10分
所以 . …………12分
故直线 与平面 所成角的大小为 . …………13分
（18）（共14分）
（Ⅰ）解： . …………2分
由题意有 即 ，解得 或 （舍去）．…………4分
得 即 ，解得 ． …………5分
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知 ，
．
在区间 上，有 ；在区间 上，有 ．
故 在 单调递减，在 单调递增，
于是函数 在 上的最小值是 ． …………9分
故当 时，有 恒成立． …………10分
(Ⅲ)解： ．
当 时，则 ，当且仅当 时等号成立，
故 的最小值 ，符合题意； …………13分
当 时，函数 在区间 上是增函数，不存在最小值，不合题意；
当 时，函数 在区间 上是增函数，不存在最小值，不合题意．
综上，实数 的取值范围是 ． …………14分
（19）（共13分）
（Ⅰ）解：由已知 …………2分
解得 ， ． …………4分
故所求椭圆方程为 ． …………5分
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知 ， ， ．
设 ，则 ．
于是直线 方程为 ，令 ，得 ；
所以 ，同理 ． …………7分
所以 ， .
所以
．
所以 ，点 在以 为直径的圆上． …………9分
设 的中点为 ，则 ． …………10分
又 ，
所以
．
所以 ． …………12分
因为 是以 为直径的圆的半径， 为圆心， ，
故以 为直径的圆与直线 相切于右焦点． …………13分
（20）（共14分）
解：（Ⅰ） ， ． …………2分
（Ⅱ） ；
；
．
…………6分
(Ⅲ)由（Ⅰ）（Ⅱ）不难发现对 ，有 ． …………8分
所以当 时，
…………11分
于是 ， ．
所以
， ． …………13分
又 ，满足上式，
所以对 ， ． …………14分