2012年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第三次适应性训练
数 学（理科）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。考试时间120分钟
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是 （ ）
A． B． C． D．
2．复数 的实部是 （ ）
A． B． C． D．
3．如果命题“ ”是真命题，则正确的是 ( )
A. 均为真命题 B . 中至少有一个为假命题
C. 均为假命题 D. 中至多有一个为假命题
4. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,过 作双曲线 的一条渐近线的垂线,垂足为 ,若 的中点 在双曲线 上,则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C．2D．3
5．己知 ，则 的值是 （ ）
A、 B、 C、－2 D、2
6． 若集合 ，全集U=R，则 =（ ）
A． B． C． D．
7．六名学生从左至右站成一排照相留念，其中学生甲和学生乙必须相邻．在此前提下，学生甲站在最左侧且学生丙站在最右侧的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r ，则r＝2Sa＋b＋c；类比这个结论可知：四面体S－ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为R，四面体P－ABC的体积为V，则R＝( )
A．VS1＋S2＋S3＋S4 B． 2VS1＋S2＋S3＋S4
C．3VS1＋S2＋S3＋S4 D．4VS1＋S2＋S3＋S4
9．公差不为零的等差数列 中， ，且 、 、 成等比数列，则数列 的公差等于 （ ）
A. B． C． D．
10．在 上可导的函数 ，当 时取得极大值，当 时取得极小值，则 的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填写在题中的横线上．
11．如右图所示的程序框图的输 出值 ，
则输入值 。
12．直线 与抛物线 所围成图形
的面积是 ．
13. 在 的展开式中，只有第 项的二
项式系数最大，则展开式中常数项是 ．
14.下列4个命题：
①已知函数 的图象
如图所示， 则 ；
②在△ABC中，∠A>∠B是sinA>sinB的充要条件；
③定义域为R的奇函数 ，
则 的图象关于点 对称；
④对于函数f（x）=x2+mx+n,若f（a）>0,f（b）>0,则f（x）在（a,b）内至多有一个零点；其中正确命题序 号 ．
15．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）
A．（不等式选做题）。不等式： 的解集是 。
B. (几何证明选做题)
如图，在 中，DE∥BC，EF∥CD，若BC=3，DE=2，DF=1，则AB的长为 。
C. (坐标系与参数方程选做题)
在已知极坐标系中，已知圆 与直线 相切，则实数 。
三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本题满分12分）在 中， 已知内角 所对的边分别为 ，向量 ，且 // ， 为锐角．
（1）求角 的大小； （2）设 ，求 的面积 的最大值．
17．（本题满分12分）袋中有 个白球和 个黑球，每次从中任取 个球，每次取出黑球后不再放回去，直到取出白球为止．求取球次数 的分布列，并求出 的期望值和方差．
18．（本题满分12分）如图，在棱长为4的正方体ABCD―A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC1 = 4CP.
（1）求直线AP与平面BCC1B1所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）;
（2）设O点在平面D1AP上的射影是H，求证：D1H⊥AP；
（3）求点P到平面ABD1的距离.
19．（本题满分12分）在数列{ }中， ，并且对任意 都有
成立，令 ．
（1）求数列{ }的通项公式；（2）求数列{ }的前n项和 ．
20．（本题满分13分） 在直角坐标坐标系中，已知一个圆心在坐标原点，半径为2的圆，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段 为垂足．
(1)求线段 中点M的轨迹C的方程；
(2)过点Q(―2，0)作直线ｌ与曲线C交于A、B两点，设N是过点( ，0)，且以 为方向向量的直线上一动点，满足 (O为坐标原点)，问是否存在这样的直线ｌ,使得四边形OANB为矩形?若存在，求出直线ｌ的方程；若不存在，说明理由．
21．（本题满分14分）已知函数
（1）求函数 在 上的最大值和 最小值；
（2）求证：在区间 上，函数 的图象在 的图象的下方。
2012年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第三次适应性训练
高三数学（理科）参考答案
一、选择题：
题号12345678910
答案 A C B A A A C C B D
二、填空题:
11． 12. 13.15 14. ○2
15 ．A B． C．2或8
三、解答题：
16．（本题满分12分）
解：（1）由 // 得 -------2分
即 --------4分
即锐角 ． ------6分
（Ⅱ）∵ ，∴由余弦定理 得 ----8分
． 又∵ ，
代入上式得
当且仅当 时等号成立）．
∴ （当且仅当 时等号成立）．
∴ 面积的最大值为 ． --------12分
17．（本题满分12分）解： 的所有可能取值为1,2,3,4,5．并且有
因此 的分布列是
．
18．（本题满分12分）解：如右图，（1）解：∵AB⊥平面BCC1B1，
∴ AP与平面BCC1B1所成的角主浊∠APB.
如右图建立空间直角坐标系，坐标原点为D.
∵CC1 = 4CP，CC1 = 4，
∴CP = 1，A (4, 0, 0)，P (0 , 4, 1)，B (4, 4, 0).
∴ .
∵ ,
∴cos∠ .
∴直线AP与平面BCC1B1所成的角为arccos .
（2）证明：连结D1O，由（1）有D1 (0, 0, 4)，O (2, 2, 4)，
∴ . ∴ .
∵平面D1AP的斜线D1O在这个平面内的射影 是D1H，∴D1H⊥AP.
（3）解：连结BC1，在平面BCC1B1中，过点P作PQ⊥BC1于点Q.
∵AB⊥平 面BC C1B1， 平面BCC1B1，∴PQ⊥AB.
∴PQ⊥平面ABC1D1. ∴PQ就是点P到平面ABD1的距离.
在Rt△C1PQ中，∠C1QP = 90°，∠PC1Q = 45°，PC1 = 3，
∴ ，即点P到平面ABD¬1的距离为 .
19．解：（1）当n=1时， ,当 时，
由 得 所以 …………………．．4分
所以数列 是首项为3，公差为1的等差数列，
所以数列 的通项公式为 ……………………．6分
（2）
20．（本题满分13分）解：（1）设M(x,y)是所求曲线上的任意一点，P（ ）是方程 的圆上的任意一点，则 .
则有： ，即 ，代入 得，
轨迹C 的方程为
（2）当直线l的斜率不存在时，与椭圆无交点. 所以设直线l的方程为y=k(x+2),与椭圆交于 两点，N点所在直线方程为 .
由 得（4＋ ） .
由 ∴ . 即
，即 ,∴四边形OANB为平行四边形
假设存在矩形OANB,则 ,即 ，
即 ，
于是有 得
设N（ ），由 得 ，
即点N在直线x＝－ 上. ∴存在直线l使四边形OANB为矩形，
直线l的方程为 .
21．（本题满分14分）
解：（1）由 得 ，当 时， ，函数 单调递增，
（2）设 ，则 ，当 时 函数 单调递减，且 ，故 时， ， ，故在区间 上，函数 的图象在函数 的下方。